Analysis Beispiele

$5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2}$ .

$10 t + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$10 t + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 t + 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$10 t + 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 t + 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 t + 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- 18]$

Schritt 4

Da $- 18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 t - 8 \frac{1}{t^{3}} + 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$10 t + \frac{- 8}{t^{3}} + 0$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 t - \frac{8}{t^{3}} + 0$

Schritt 5.2.3

Addiere $10 t - \frac{8}{t^{3}}$ und $0$ .

$10 t - \frac{8}{t^{3}}$