Analysis Beispiele

$\sum_{n = 3}^{12} - 5 n - 1$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 3}^{12} - 5 n - 1 = \sum_{n = 1}^{12} - 5 n - 1 - \sum_{n = 1}^{2} - 5 n - 1$

Schritt 2

Berechne $\sum_{n = 1}^{12} - 5 n - 1$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{12} - 5 n - 1 = - 5 \sum_{n = 1}^{12} n + \sum_{n = 1}^{12} - 1$

Schritt 2.2

Berechne $5 \sum_{n = 1}^{12} n$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 5) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $12$ und $1$ .

$- 5 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$- 5 (\frac{156}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Dividiere $156$ durch $2$ .

$- 5 \cdot 78$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $78$ .

$- 390$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{n = 1}^{12} - 1$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 1) (12)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 390 - 12$

Schritt 2.5

Subtrahiere $12$ von $- 390$ .

$- 402$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{2} - 5 n - 1$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$- 5 \cdot 1 - 1 - 5 \cdot 2 - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 - 1 - 5 \cdot 2 - 1$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$- 6 - 5 \cdot 2 - 1$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 6 - 10 - 1$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $1$ von $- 10$ .

$- 6 - 11$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $11$ von $- 6$ .

$- 17$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 402 + 17$

Schritt 5

Addiere $- 402$ und $17$ .

$- 385$