Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k = \sum_{k = 1}^{10} - 5 k - \sum_{k = 1}^{4} - 5 k$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{10} - 5 k$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 5$ aus der Summe raus.

$(- 5) \sum_{k = 1}^{10} k$

Schritt 2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 5) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $10$ und $1$ .

$- 5 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$- 5 (\frac{110}{2})$

Schritt 2.4.3

Dividiere $110$ durch $2$ .

$- 5 \cdot 55$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $55$ .

$- 275$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} - 5 k$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$- 5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 5 - 10 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$- 15 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 15 - 15 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $15$ von $- 15$ .

$- 30 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 30 - 20$

Schritt 3.2.7

Subtrahiere $20$ von $- 30$ .

$- 50$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 275 + 50$

Schritt 5

Addiere $- 275$ und $50$ .

$- 225$