Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{7 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{7 \cdot 25 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $25$ .

$\frac{175 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{175 - 1}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $175$ .

$\frac{174}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{174}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{174}{(x + 5) (x - 5)}$