Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{\frac{7}{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Dann ist $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 1.1.4.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 1.1.4.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{x} - e^{- x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{7}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {({u_{2}}^{\frac{7}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7 \cdot - 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{- 7}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {u_{2}}^{- \frac{7}{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{7}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}} + C$ als $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$ um.

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}} \cdot 5} + C$

Schritt 4.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{5 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{5 {(e^{x} + e^{- x})}^{\frac{5}{2}}} + C$