Analysis Beispiele

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 5

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

Schritt 10

Subtrahiere $1 x$ von $- 1 x$ .

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

Schritt 11

Dividiere $x^{2} - 2 x + 1$ durch $x$ .

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Schritt 11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Schritt 11.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Schritt 11.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Schritt 11.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Schritt 11.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Schritt 11.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

Schritt 11.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 15

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$