Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\sin^{3} (x)$ aus $\sin^{4} (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Schritt 1.3

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Schritt 1.4

Wandle von $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ nach $\cot^{3} (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Schritt 1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\cot^{3} (x)$ als $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Schritt 4

Sei $u = \csc (x)$ . Dann ist $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , folglich $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = \csc (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Schritt 4.1.3

Stelle die Faktoren von $- \csc (x) \cot (x)$ um.

$- \cot (x) \csc (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Schritt 5

Multipliziere $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$