Analysis Beispiele

$\int 16 \sqrt[3]{x^{5}} - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 16 \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{3}}$ neu zu schreiben.

$16 \int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - \int \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - (16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und $x^{\frac{8}{3}}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - (16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{3}}$ neu zu schreiben.

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x$

Schritt 7.2.2

Bringe $x^{\frac{5}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 1$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d x$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{- 5}{3}} d x$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{- \frac{5}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- \frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3}{2} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2} + C)$

Schritt 9.1.3

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$6 x^{\frac{8}{3}} - 16 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}) + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$6 x^{\frac{8}{3}} + 16 \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{16 \cdot 3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{48}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Schritt 9.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 (x^{\frac{2}{3}})} + C$

Schritt 9.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Schritt 9.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{24}{x^{\frac{2}{3}}} + C$