Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{24}{x^{2} + 12}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{x^{2} + 12}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 12})$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 12}$ als ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{- 1})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$f' (x) = - 24 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Schritt 1.3.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f' (x) = - 48 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 48 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 48$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Bringe $48$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 12)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ heraus.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.9

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.16

Kombiniere $- 48$ und $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(48) (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 144 x^{2} + 576$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 144 x^{2}) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.3

Da $- 144$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 144 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 144 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 (2 x) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 144$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.6

Da $576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $576$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + 0) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.7

Addiere $- 288 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 {(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) (2 \cdot ({(x^{2} + 12)}^{2} x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ mit $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + 0$

Schritt 3.5.7.2

Addiere $- \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$ und $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ aus ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ heraus.

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Schritt 3.6.2.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ aus ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x)$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ aus $(- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ aus ${(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) - 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.2.2.1

Mutltipliziere $- 144$ mit $- 6$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $576$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} \cdot - 288 + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.3.2

Bringe $- 288$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 \cdot x^{2} + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 288$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 x^{2} - 3456 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.4

Addiere $- 288 x^{2}$ und $864 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 3456 - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.5

Subtrahiere $3456$ von $- 3456$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.6

Faktorisiere $576$ aus $576 x^{2} - 6912$ heraus.

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Schritt 3.6.2.6.1

Faktorisiere $576$ aus $576 x^{2}$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2}) - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.6.2

Faktorisiere $576$ aus $- 6912$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} + 576 \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.2.6.3

Faktorisiere $576$ aus $576 x^{2} + 576 \cdot - 12$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x \cdot (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.3.1

Bringe $576$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

$f''' (x) = - \frac{576 \cdot (({(x^{2} + 12)}^{2} x) (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 12)}^{2}$ und ${(x^{2} + 12)}^{6}$ .

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Schritt 3.6.3.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2}$ aus $576 {(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} - 12)$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.3.2.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 12)}^{6}$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 3.6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 3.6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = - \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$ nach $x$ gleich $- 576 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{d}{d x} \frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 4.2

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.5.3

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.5.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.9.3.1

Mutltipliziere $x^{2} - 12$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.9.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 4.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.10.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 {(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

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Schritt 4.11.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12)$ heraus.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.11.2.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{3}$ aus $- 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.11.2.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ heraus.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 12)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 12)}^{8}$ heraus.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.15

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.16.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x (x^{2} - 12) x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.20

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.21

Kombiniere $- 576$ und $\frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{(576) ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23

Vereinfache.

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Schritt 4.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.23.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.23.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.23.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2} - 12) + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.23.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.23.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.23.3.1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.3

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 \cdot x^{2} + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.2

Addiere $- 12 x^{2}$ und $36 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + 24 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4}) + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.23.3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4.2

Mutltipliziere $24$ mit $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4.3

Mutltipliziere $576$ mit $- 144$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.23.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2 + 2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{4}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (96 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.8

Mutltipliziere $96$ mit $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.2

Subtrahiere $4608 x^{4}$ von $1728 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.3

Addiere $13824 x^{2}$ und $55296 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.4

Faktorisiere $576$ aus $- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944$ heraus.

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Schritt 4.23.4.1

Faktorisiere $576$ aus $- 2880 x^{4}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.2

Faktorisiere $576$ aus $69120 x^{2}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.3

Faktorisiere $576$ aus $- 82944$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.4

Faktorisiere $576$ aus $576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2})$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.5

Faktorisiere $576$ aus $576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.6

Faktorisiere $- 1$ aus $120 x^{2}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2})$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.8

Schreibe $- 144$ als $- 1 (144)$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 \cdot 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 (144)$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.10

Schreibe $- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ als $- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 4.23.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}})$

Schritt 4.23.13

Mutltipliziere $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$