Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 x^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$4 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 12 x^{- 4}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 12$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 12}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{12}{x^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{12}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 12 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$48 x^{- 5}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{x^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{48}{x^{5}}$ .

$\frac{48}{x^{5}}$