Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{2} - 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$72 x - 24 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f''' (x) = 72 x - 24$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $72 x - 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72 x$ nach $x$ gleich $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $72$ mit $1$ .

$72 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$72 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $72$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 72$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $72$ .

$72$