Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

Schritt 1.1.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $A (1 - x)$ durch $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.5.2

Dividiere $(B) (x)$ durch $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Schritt 1.1.7.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A - x A + B x$

Schritt 1.1.7.3

Bewege $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Schritt 1.3.3

Löse in $0 = - 1 + B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + B = 0$ um.

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Schritt 1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = 1$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = 1$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 1.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$