Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t) \tan (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $\sec (t) \tan (t)$ aus $\sec^{3} (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ als ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Schritt 2.2.2.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 8

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 12.3

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Schritt 13.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$