Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + x (- x)$

Schritt 2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x - x \cdot x$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x - x^{2}$

Schritt 2.1.5

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x$

Schritt 2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Schritt 2.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ ein.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x - \frac{1}{2}$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - \frac{1}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Schritt 4

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Schritt 6

Stelle $- u^{2}$ und ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (2 x - 1) + C$