Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 3

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.4

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.7

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{6}}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$