Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 3 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t)$ an.

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \tan^{2} (t)$ als ${(3 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (\sec (t))$ an.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27 \sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\sec (t)$ und $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.8

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 2.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Schritt 2.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Schritt 2.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t)$ und $\sec^{3} (t)$ .

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Schritt 2.2.14.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec (t) \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Schritt 2.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.14.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $3 \sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Schritt 2.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Schritt 2.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ als ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Schritt 4.3

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Schritt 4.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Schritt 4.5

Schreibe $\cos (t)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Schritt 17.4

Multipliziere $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$