Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 2 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $4 \cos^{2} (t)$ an.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.9

Schreibe $64 \cos^{6} (t)$ als ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \cos (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2 \cos (t)$ aus $8 \cos^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (t)$ heraus.

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (\sin (t))$ an.

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.2.5

Wandle von $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ nach $\tan^{2} (t)$ um.

$\int \tan^{2} (t) d t$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$- t + \tan (t) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$