Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} d x$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$\int \frac{x^{2}}{9 + {(x^{3})}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9 + u^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(9 + u^{2}) \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $9 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 (9 + u^{2})} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{9 + u^{2}} d u$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{3^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arctan (\frac{u}{3})$ .

$\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$