Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x^{3} x - x^{3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x^{3} x + x^{3} \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{x^{3} (x - 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (x - 1)$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2} \cdot 1} d x$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2} \cdot 1} d x$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x (x - 1)}{1} d x$

Schritt 1.2.2.4

Dividiere $x (x - 1)$ durch $1$ .

$\int x (x - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere $x (x - 1)$ .

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x + x \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Schritt 3.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int x^{2} - x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$