Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} + x - 4}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{4} + x - 4$ durch $x^{2} + 2$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 0 + 2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$2 x^{2}$
									-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
									-	$2 x^{2}$	+	$0$	-	$4$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 0 - 4$

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$2 x^{2}$
									-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
									+	$2 x^{2}$	-	$0$	+	$4$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{2}$

$0$

$4$

$x$

$0$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{2} - 2 + \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 5

Sei $u = x^{2} + 2$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$