Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

Schritt 2

Multipliziere $(x^{4} + 8) x^{- 3}$ .

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

Schritt 3.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 8.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

Schritt 8.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$