Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 6}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ als $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ um.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{5}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Schritt 4.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Schritt 6.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Schritt 6.3

Wandle von $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ nach $\csc^{5} (x)$ um.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Schritt 6.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$