Analysis Beispiele

$\int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 4

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 6

Vereinfache.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$