Analysis Beispiele

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Schritt 2

Bringe $t^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4

Multipliziere $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 6

Da $27$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $27$ aus dem Integral.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{8}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $27$ und $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$