Analysis Beispiele

$\int \frac{28 x}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $28$ aus dem Integral.

$28 \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$28 \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$28 \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$28 \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$28 \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$28 \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$28 \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Schritt 2.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$28 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$28 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $28 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ als $28 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$28 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $28$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$\frac{56}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$