Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$ mit $1$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} d u_{2}$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$