Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 1

Dividiere $3 x^{2} - 10$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 12 x + 12$

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere den Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x - 22$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 4.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 22$ heraus.

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 4.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x) + 2 (- 11)$ heraus.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 4.1.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 4.1.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 4.1.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.5.2

Dividiere $2 (6 x - 11)$ durch $1$ .

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.7

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.8.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 4.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(B) {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 4.1.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Schritt 4.1.8.2.2.4

Dividiere $B (x - 2)$ durch $1$ .

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

Schritt 4.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

Schritt 4.1.8.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $B$ .

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

Schritt 4.1.9

Stelle $A$ und $B x$ um.

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

Schritt 4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$12 = B$

Schritt 4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 22 = A - 2 B$

Schritt 4.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

Schritt 4.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 12$ um.

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

Schritt 4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $12$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $- 22 = A - 2 B$ durch $12$ .

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

Schritt 4.3.3

Löse in $- 22 = A - 24$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A - 24 = - 22$ um.

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

Schritt 4.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

Schritt 4.3.3.2.2

Addiere $- 22$ und $24$ .

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

Schritt 4.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 2 B = 12$

Schritt 4.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 2, B = 12$

Schritt 4.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

Schritt 4.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 7.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Schritt 10

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = x - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 11.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$