Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Schritt 1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\ln (| \sin (x) |)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Schritt 3.2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ist ungefähr $0.70710678$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Dezimalform:

$0.34657359 \dots$