Analysis Beispiele

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\sec^{4} (u_{1})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ um.

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\sec^{2} (u_{1})$ in $1 + \tan^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Schritt 12.4

Kombinieren.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 12.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $\tan^{3} (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$