Analysis Beispiele

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\tan^{4} (x)$ aus.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Schritt 5

Multipliziere ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ aus.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ als $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ um.

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.8

Stelle $u^{2}$ und $- 1$ um.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $u^{6}$ mit $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.11

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.13

Addiere $2$ und $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.14

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.16

Addiere $2$ und $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Schritt 5.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Schritt 5.18

Addiere $2$ und $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Schritt 5.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Schritt 5.20

Addiere $4$ und $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Schritt 5.21

Subtrahiere $u^{8}$ von $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Schritt 5.22

Stelle $- 2 u^{8}$ und $u^{10}$ um.

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Schritt 5.23

Bewege $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{10}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$