Analysis Beispiele

$\int \sin^{4} (x) \cos^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{4} (x)$ aus.

$\int \sin^{4} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \sin^{4} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int \sin^{4} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{4} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \sin^{4} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{4} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{4} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5

Multipliziere $u^{4} {(1 - u^{2})}^{2}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$\int u^{4} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{4} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 (- u^{2})) + u^{4} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 (- u^{2})) + u^{4} (- u^{2} \cdot 1) + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.8

Bewege $u^{4}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 (- u^{2})) + u^{4} (- u^{2} \cdot 1) + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.9

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{4} (- u^{2} \cdot 1) + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.10

Bewege $u^{4}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- u^{2} \cdot 1) + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.11

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.12

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.13

Bewege $u^{4}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.14

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.15

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 5.16

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} + u^{4} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.17

Bewege $u^{4}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.18

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.19

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$\int u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u^{4} - u^{4} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.21

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{4} - (u^{4} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{4} - u^{4 + 2} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.23

Addiere $4$ und $2$ .

$\int u^{4} - u^{6} - 1 \cdot 1 u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{4} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.25

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{4} - u^{6} - (u^{4} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{4} - u^{6} - u^{4 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.27

Addiere $4$ und $2$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} - 1 \cdot - 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.28

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + 1 u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.29

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Schritt 5.31

Addiere $4$ und $2$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Schritt 5.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Schritt 5.33

Addiere $6$ und $2$ .

$\int u^{4} - u^{6} - u^{6} + u^{8} d u$

Schritt 5.34

Subtrahiere $u^{6}$ von $- u^{6}$ .

$\int u^{4} - 2 u^{6} + u^{8} d u$

Schritt 5.35

Stelle $- 2 u^{6}$ und $u^{8}$ um.

$\int u^{4} + u^{8} - 2 u^{6} d u$

Schritt 5.36

Bewege $u^{4}$ .

$\int u^{8} - 2 u^{6} + u^{4} d u$

$\int u^{8} - 2 u^{6} + u^{4} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{8} d u + \int - 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C + \int - 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{u^{9}}{9} - \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

$\frac{u^{9}}{9} - \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{9} (x)}{9} - \frac{2 \sin^{7} (x)}{7} + \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{9} \sin^{9} (x) - \frac{2}{7} \sin^{7} (x) + \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$