Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über sin(x)^4cos(x)^2 nach x
Schritt 1
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 2
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2
Schreibe als Potenz um.
Schritt 3
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 4
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Differenziere .
Schritt 4.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 5
Vereinfache durch Ausmultiplizieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Vereinfache durch Vertauschen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.2.2
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.3
Multipliziere aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Schreibe die Potenz um als ein Produkt.
Schritt 5.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.9
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.10
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.11
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.12
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.13
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.14
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.15
Stelle und um.
Schritt 5.3.16
Stelle und um.
Schritt 5.3.17
Bewege .
Schritt 5.3.18
Stelle und um.
Schritt 5.3.19
Bewege .
Schritt 5.3.20
Bewege .
Schritt 5.3.21
Stelle und um.
Schritt 5.3.22
Stelle und um.
Schritt 5.3.23
Bewege .
Schritt 5.3.24
Stelle und um.
Schritt 5.3.25
Stelle und um.
Schritt 5.3.26
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.27
Bewege .
Schritt 5.3.28
Stelle und um.
Schritt 5.3.29
Bewege .
Schritt 5.3.30
Bewege .
Schritt 5.3.31
Bewege .
Schritt 5.3.32
Stelle und um.
Schritt 5.3.33
Stelle und um.
Schritt 5.3.34
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.35
Bewege .
Schritt 5.3.36
Stelle und um.
Schritt 5.3.37
Stelle und um.
Schritt 5.3.38
Bewege .
Schritt 5.3.39
Bewege .
Schritt 5.3.40
Stelle und um.
Schritt 5.3.41
Bewege .
Schritt 5.3.42
Bewege .
Schritt 5.3.43
Bewege .
Schritt 5.3.44
Stelle und um.
Schritt 5.3.45
Stelle und um.
Schritt 5.3.46
Bewege .
Schritt 5.3.47
Bewege .
Schritt 5.3.48
Stelle und um.
Schritt 5.3.49
Stelle und um.
Schritt 5.3.50
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.51
Bewege .
Schritt 5.3.52
Bewege .
Schritt 5.3.53
Stelle und um.
Schritt 5.3.54
Bewege .
Schritt 5.3.55
Bewege .
Schritt 5.3.56
Bewege .
Schritt 5.3.57
Bewege .
Schritt 5.3.58
Stelle und um.
Schritt 5.3.59
Stelle und um.
Schritt 5.3.60
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.61
Bewege .
Schritt 5.3.62
Bewege .
Schritt 5.3.63
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.64
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.65
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.66
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.67
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.68
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.69
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.70
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.71
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.72
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.73
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.74
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.75
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.76
Kombiniere und .
Schritt 5.3.77
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.78
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.79
Kombiniere und .
Schritt 5.3.80
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.81
Kombiniere und .
Schritt 5.3.82
Kombiniere und .
Schritt 5.3.83
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.84
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.85
Kombiniere und .
Schritt 5.3.86
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.87
Kombiniere und .
Schritt 5.3.88
Kombiniere und .
Schritt 5.3.89
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.90
Kombiniere und .
Schritt 5.3.91
Potenziere mit .
Schritt 5.3.92
Potenziere mit .
Schritt 5.3.93
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.94
Addiere und .
Schritt 5.3.95
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.96
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.97
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.98
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.99
Kombiniere und .
Schritt 5.3.100
Kombiniere und .
Schritt 5.3.101
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.102
Kombiniere und .
Schritt 5.3.103
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.104
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.105
Kombiniere und .
Schritt 5.3.106
Kombiniere und .
Schritt 5.3.107
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.108
Kombiniere und .
Schritt 5.3.109
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.110
Kombiniere und .
Schritt 5.3.111
Potenziere mit .
Schritt 5.3.112
Potenziere mit .
Schritt 5.3.113
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.114
Addiere und .
Schritt 5.3.115
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.116
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.117
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.118
Kombiniere und .
Schritt 5.3.119
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.120
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.121
Kombiniere und .
Schritt 5.3.122
Potenziere mit .
Schritt 5.3.123
Potenziere mit .
Schritt 5.3.124
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.125
Addiere und .
Schritt 5.3.126
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.127
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.128
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.129
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.130
Kombiniere und .
Schritt 5.3.131
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.132
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.133
Kombiniere und .
Schritt 5.3.134
Potenziere mit .
Schritt 5.3.135
Potenziere mit .
Schritt 5.3.136
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.137
Addiere und .
Schritt 5.3.138
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.139
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.140
Kombiniere und .
Schritt 5.3.141
Potenziere mit .
Schritt 5.3.142
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.143
Addiere und .
Schritt 5.3.144
Addiere und .
Schritt 5.3.145
Addiere und .
Schritt 5.3.146
Stelle und um.
Schritt 5.3.147
Stelle und um.
Schritt 5.3.148
Bewege .
Schritt 5.3.149
Stelle und um.
Schritt 6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Faktorisiere aus.
Schritt 9
Schreibe in um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Schritt 10
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1.1
Differenziere .
Schritt 10.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 10.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 11
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 12
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 13
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 14
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 15
Kombiniere und .
Schritt 16
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 17
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 18
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 19
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 20
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 21
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 22
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 23
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 23.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 23.1.1
Differenziere .
Schritt 23.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 23.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 23.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 23.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 24
Kombiniere und .
Schritt 25
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 26
Das Integral von nach ist .
Schritt 27
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 28
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 29
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 30
Das Integral von nach ist .
Schritt 31
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.1
Vereinfache.
Schritt 31.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 31.2.2
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 31.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 31.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 31.2.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 31.2.5
Addiere und .
Schritt 32
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 32.1
Ersetze alle durch .
Schritt 32.2
Ersetze alle durch .
Schritt 32.3
Ersetze alle durch .
Schritt 32.4
Ersetze alle durch .
Schritt 33
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 33.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 33.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 33.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 33.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 33.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 33.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 33.3
Kombiniere und .
Schritt 34
Stelle die Terme um.