Analysis Beispiele

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cot^{3} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

Schritt 4

Wende die Reduktionsformel an.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\cot (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\cot^{2} (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ an.

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| \sin (2 x) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5.2

Kombinieren.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5.3

Mutltipliziere $\cos^{2} (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5.5

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ .

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Schritt 8.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6.2

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6.3

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6.4

Wandle von $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ nach $\cot^{2} (2 x)$ um.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 8.6.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cot^{2} (2 x)$ .

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$