Analysis Beispiele

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x + 9$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x + 9$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $e^{\sqrt{u_{1}}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , folglich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u_{2}$ und $dv = e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x + 9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Schritt 11.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 9$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Schritt 11.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Schritt 11.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 9$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 9$ heraus.

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Schritt 11.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.2

Multipliziere $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ .

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Schritt 11.4.2.1

Kombiniere $\sqrt{3 (x + 3)}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ und $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 (x + 3)}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Schritt 11.4.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Schritt 11.6

Faktorisiere $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ aus $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ heraus.

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Schritt 11.6.1

Faktorisiere $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ aus $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ heraus.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Schritt 11.6.2

Faktorisiere $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ aus $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ heraus.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

Schritt 11.6.3

Faktorisiere $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ aus $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ heraus.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$