Analysis Beispiele

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{x}$ und $\sin (4 x)$ um.

$\int \sin (4 x) e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (4 x)$ und $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - \int e^{x} (4 \cos (4 x)) d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\sin (4 x) e^{x} - (4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x}$ und $\cos (4 x)$ um.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int \cos (4 x) e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (4 x)$ und $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - \int e^{x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - (- 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x))$

Schritt 7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} + 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 4 (4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 16 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17} + C$

Schritt 9

Schreibe $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}}{17} + C$ als $\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$ um.

$\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$