Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \ln (u) d u$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \ln (u)$ und $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (u) u - \int d u$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (u) u - (u + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\ln (u) u - u + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$