Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ und $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ bei $2 π$ und $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Schritt 5.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Schritt 5.3.6

Addiere $0$ und $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Schritt 5.4.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Schritt 6.2

Addiere $- 2 π$ und $0$ .

$- 2 π - 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 π - 1$

Dezimalform:

$- 7.28318530 \dots$