Analysis Beispiele

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = - 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\sec (e^{u_{1}})$ und $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\tan (e^{u_{1}})$ und $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 5

Sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\sec (u_{2})$ gleich $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ gleich $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$