Analysis Beispiele

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{4 x}$ und $\sin (5 x)$ um.

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (5 x)$ und $d v = e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4} \cdot 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4} \cdot 5$ aus dem Integral.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sin (5 x)$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 4.4

Stelle $e^{4 x}$ und $\cos (5 x)$ um.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (5 x)$ und $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4} \cdot - 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4} \cdot - 5$ aus dem Integral.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (5 x)$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ mit $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{- 5}{4}$ mit $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Schritt 9.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{41}{16}$ zu dividieren.

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ als $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ um.

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (5 x)}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\cos (5 x)$ und $\frac{5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $e^{4 x}$ und $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ um.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.2.1

Forme um.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.4.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.4.2.3

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Schritt 9.4.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$