Analysis Beispiele

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Schritt 1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 - 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 - 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$- 8 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $\int \sqrt[3]{u} d u$ mit $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$