Analysis Beispiele

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1

Bewege $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Schritt 1.1.2

Stelle $4 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 4 x + 5$

Schritt 1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Schritt 1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 5 - - 4$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $5$ und $4$ .

$e = 9$

Schritt 1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 2)}^{2} + 9$ ein.

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.2

Stelle $- 9 \sin^{2} (t)$ und $9$ um.

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.7

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 5

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.4

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Schritt 16.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Schritt 17.4

Multipliziere $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$