Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 3

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{lower} = \tan (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Schritt 4

Multipliziere $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $u^{5}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere $u^{5}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Schritt 5.2.2

Addiere $5$ und $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ und $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ bei $\sqrt{3}$ und $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{6}$ als $3^{3}$ um.

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Schritt 10.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $6$ .

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Schritt 10.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{8}$ als $3^{4}$ um.

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Schritt 10.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 10.2.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.5.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.7

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.8

Um $\frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.11.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.11.2

Addiere $36$ und $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Schritt 10.2.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Schritt 10.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Schritt 10.2.16

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Schritt 10.2.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Schritt 10.2.18

Addiere $\frac{117}{8}$ und $0$ .

$\frac{117}{8}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{117}{8}$

Dezimalform:

$14.625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$14 \frac{5}{8}$