Analysis Beispiele

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Schritt 3

Kombiniere $\cos^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

Schritt 17.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Schritt 17.5

Multipliziere $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

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Schritt 17.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

Schritt 17.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$