Analysis Beispiele

$\int 2 x \cos (x^{2}) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x \cos (x^{2}) d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \cos (u) d u$ mit $1$ .

$\int \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\sin (x^{2}) + C$