Analysis Beispiele

$p \int_{0}^{8} {(\sqrt[3]{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt[3]{x})}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$p \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$p \int_{0}^{8} x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$p \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{8}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$p \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{8}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $8$ und $0$ .

$p ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$p (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{3 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$p (\frac{3 \cdot 32}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 4.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Schritt 4.2.2.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 4.2.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 4.2.2.11.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 4.2.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.11.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{96}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$p (\frac{96}{5} - 0)$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (\frac{96}{5} + 0)$

Schritt 4.2.2.13

Addiere $\frac{96}{5}$ und $0$ .

$p \frac{96}{5}$

Schritt 4.2.2.14

Kombiniere $p$ und $\frac{96}{5}$ .

$\frac{p \cdot 96}{5}$

Schritt 4.2.2.15

Bringe $96$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{96 p}{5}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{96}{5} p$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{96}{5}$ und $p$ .

$\frac{96 p}{5}$

Schritt 6