Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über natürlicher Logarithmus von 1+x nach x
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Kombiniere und .
Schritt 3
Dividiere durch .
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Schritt 3.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
++
Schritt 3.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
++
Schritt 3.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
++
++
Schritt 3.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
++
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Schritt 3.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
++
--
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Schritt 3.6
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 4
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 5
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 7
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 7.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 7.1.1
Differenziere .
Schritt 7.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 7.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 7.1.5
Addiere und .
Schritt 7.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 8
Das Integral von nach ist .
Schritt 9
Vereinfache.
Schritt 10
Ersetze alle durch .