Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über arccos(2x) nach x
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Vereinfache.
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Schritt 2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Vereinfache.
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Schritt 4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 6
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 6.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 6.1.1
Differenziere .
Schritt 6.1.2
Differenziere.
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Schritt 6.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 6.1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 6.1.3
Berechne .
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Schritt 6.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.4
Subtrahiere von .
Schritt 6.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 7
Vereinfache.
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Schritt 7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 8
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 9
Mutltipliziere mit .
Schritt 10
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 11
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 11.1
Vereinfache.
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Schritt 11.1.1
Kombiniere und .
Schritt 11.1.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 11.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 11.1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.1.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.1.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2
Wende die grundlegenden Potenzregeln an.
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Schritt 11.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 11.2.2
Bringe aus dem Nenner durch Potenzieren mit .
Schritt 11.2.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 11.2.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 11.2.3.2
Kombiniere und .
Schritt 11.2.3.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 12
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 13
Vereinfache.
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Schritt 13.1
Schreibe als um.
Schritt 13.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 14
Ersetze alle durch .
Schritt 15
Stelle die Terme um.