Analysis Beispiele

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 3 y$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 3 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 5 y$ . Dann ist $d u_{2} = 5 d y$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 5 y$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 6.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 7

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$