Analysis Beispiele

\int \tan (5 x) d x

$\int \tan (5 x) d x$

Schritt 1

Sei

u = 5 x

$u = 5 x$ . Dann ist

d u = 5 d x

$d u = 5 d x$ , folglich

\frac{1}{5} d u = d x

$\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei

u = 5 x

$u = 5 x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere

5 x

$5 x$ .

\frac{d}{d x} [5 x]

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2

5

$5$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

5 x

$5 x$ nach

x

$x$ gleich

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

5 \cdot 1

$5 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

5

$5$

5

$5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\int \tan (u) \frac{1}{5} d u

$\int \tan (u) \frac{1}{5} d u$

\int \tan (u) \frac{1}{5} d u

$\int \tan (u) \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Kombiniere

\tan (u)

$\tan (u)$ und

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

\int \frac{\tan (u)}{5} d u

$\int \frac{\tan (u)}{5} d u$

Schritt 3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

\frac{1}{5} \int \tan (u) d u

$\frac{1}{5} \int \tan (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von

\tan (u)

$\tan (u)$ nach

u

$u$ ist

\ln (| \sec (u) |)

$\ln (| \sec (u) |)$ .

\frac{1}{5} (\ln (| \sec (u) |) + C)

$\frac{1}{5} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

\frac{1}{5} \ln (| \sec (u) |) + C

$\frac{1}{5} \ln (| \sec (u) |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle

u

$u$ durch

5 x

$5 x$ .

\frac{1}{5} \ln (| \sec (5 x) |) + C

$\frac{1}{5} \ln (| \sec (5 x) |) + C$