Analysis Beispiele

$\int x \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos^{2} (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (4 x) d x)$

Schritt 6

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 6.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\sin (4 x)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C)))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C))$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Schritt 10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $\frac{1}{32}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) + C$

Schritt 10.3.4

Um $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Schritt 10.3.5

Kombiniere $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Schritt 10.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})}{8} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 (- 2) \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 12.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (4 x)}{32}$ in den Zähler.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Schritt 12.3.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 (- 1) \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Schritt 12.3.3

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Schritt 12.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Schritt 12.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - \frac{- \cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Schritt 12.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - - \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Schritt 12.4.2

Multipliziere $- - \frac{\cos (4 x)}{4}$ .

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Schritt 12.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 1 \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Schritt 12.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (4 x)}{4}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} (x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 x)) + C$